学习目标

• 库仑定律

• 场强叠加原理

• 高斯定律

• 静电场环路定律

• 场强和电势(计算空间分布)

• 评价:主要是积分问题

库仑定律

• $$F_{12}=k\frac{q_1{q}_2}{r_{12}^2}{e}_{r12}$$
  • 其中, $e_{r12}$ 是由$q_1\mathrm{指}\mathrm{向}{q}_2\mathrm{的}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{矢}\mathrm{量}$ ,方向为,施力到受力.
  • 在真空(空气中也)中: $k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$
    • ${\epsilon }_0$为真空介电常数(也叫真空电容率)
    • ${\epsilon }_0=8.85\ast {10}^{-12}{C}^2\ast N^{-1}\ast m^{-2}$

电场

• 场强: $E=\frac{F}{q_0}$ $\mathrm{其}\mathrm{中}{q}_0\mathrm{为}\mathrm{单}\mathrm{位}\mathrm{正}\mathrm{点}\mathrm{荷}$
  • 场强可以叠加,矢量之和
• 点电荷场强:$E=\frac{F}{q_0}=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{E}_r$
• 对带电体的电荷:微元,积分
  • $$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{dq}{r^2}{e}_r$$
• 课本例题14-3

电场强度和高斯定理

• 面元矢量: 大小:面积元$dS$,方向:面元的法向$e_n$
• 电场强度:
  • 定义:
    • 反应电场力的性质 $E=\frac{F}{q_0}$
    • 面为闭合曲面则：${\Phi }_e={\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}$ ,注:$\oint$ 表示,该曲面为闭合曲面.
  • 求解:
    • 常通过电场强度通量${\varphi }_e={\int }_S\overrightarrow{E}\cdot d\mathbf{\text{S}}$,来求解
    • 高斯定理求解:通过闭合曲面的电场强度通量等于曲面所包围的电荷的代数和除以${\epsilon }_0$
      • 高斯定理:(联系闭合曲面和3d空间)
        • ${\Phi }_{\text{e}}={\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum _{i=1}^n{q}_i$
        • 若连续分布,则:
          • $${\oint }_S\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}{\int }_V\rho \mathrm{d}V$$
        • 其中$\rho$为电荷体密度.
        • 对于运动电荷的电场,库仑定律并不成立，但高斯定理有效.
        • 运用:要求带电系统必须有高度对称性
        • 选取简单的高斯面
        • 并使面与电场线成一恒定角以计算.
• 模型：
  • 均匀带电球面半径为R，带电量为q
    • $$\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}}{\displaystyle \frac{q}{r^2}}{\overrightarrow{e}}_r& (r>R)\\ 0& (r<R)\end{array}$$
  • 无限长均匀带电直线，其电荷线密度为$\lambda$
    • $E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$
  • 均匀带电圆环:
    • 场强:$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qx}{(x^2+R^2{)}^{3/2}}$
    • 圆盘:
      • 将圆环场强,积分
        • $$E=\int dE={\int }_0^R\frac{\sigma 2\pi rdrx}{4\pi {\epsilon }_0(x^2+r^2{)}^{3/2}}=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}(1-\frac{x}{\sqrt{x^2+R^2}})$$
    • 无限大均匀带电平面：上式R趋无穷 故$\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$

静电场的环路定理与电势

• 电势:
  • 定义:
    • 势能,反应电场的能的性质
    • 一般取无限远处为零势面
    • $$W_a=A_{a,\text{电势能零点}}={\int }_a^{\text{电势能零点}}{q}_0\mathit{E}\cdot d\mathit{l}$$
      • 详见课本:例14-15
  • 目前求解
    • 通过场强积分求解,从无限远处积分到目标处
• 电势和电场强度之间的关系：
  • 电场强度——力的性质
  • 电势——功的性质
  • 电势的梯度和方向导数=-电场强度
    • $$\mathit{E}=E_x\mathit{i}+E_y\mathit{j}+E_z\mathit{k}=-(\frac{\partial U}{\partial x}\mathit{i}+\frac{\partial U}{\partial y}\mathit{j}+\frac{\partial U}{\partial z}\mathit{k})=-\mathrm{\nabla }U$$

电势和场强求解

• 叠加

• 高斯

• 梯度

• 叠加

• 积分